Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo a la base e, donde e es una constante irracional y transcendental aproximadamente igual a 2.718. El logaritmo natural generalmente se escribe como el callejón (x), registre (x) o a veces, si la base de e es implícita, como simplemente tronco (x).

El logaritmo natural de un número x es el poder al cual e se tendría que levantar para igualar x. Por ejemplo, el callejón (7.389...) es 2, porque e=7.389.... El tronco natural de propio e (callejón (e)) es 1 porque e = e, mientras el logaritmo natural de 1 (callejón (1)) es 0, desde e = 1.

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo un como el área bajo la curva y = 1/x de 1 a a. La simplicidad de esta definición, que se combina en muchas otras fórmulas que implican el logaritmo natural, lleva al término "natural". La definición se puede ampliar a números complejos distintos a cero, como explicado abajo.

La función del logaritmo natural, de ser considerada como una función valorada del modo verdadero de una verdadera variable, es la función inversa de la función exponencial, llevando a las identidades:

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Como todos los logaritmos, el logaritmo natural traza un mapa de la multiplicación en la adición:

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Así, la función del logaritmo es un isomorfismo del grupo de números reales positivos bajo la multiplicación al grupo de números reales bajo la adición, representada como una función:

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Los logaritmos se pueden definir a cualquier base positiva además de 1, no sólo e; sin embargo los logaritmos en otras bases sólo se diferencian por un multiplicador constante del logaritmo natural y por lo general se definen en términos de éste. Los logaritmos son útiles para solucionar ecuaciones en las cuales el desconocido aparece como el exponente de un poco de otra cantidad. Por ejemplo, los logaritmos son usados para solucionar para el período de vida media, decaimiento tiempo constante, o desconocido en problemas del decaimiento exponenciales. Son importantes en muchas ramas de matemáticas y las ciencias y se usan en finanzas para solucionar problemas que implican el interés compuesto.

Historia

La primera mención del logaritmo natural era por Nicholas Mercator con su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668, aunque el profesor de matemáticas John Speidell hubiera compilado en 1619 ya una mesa en el logaritmo natural. También se llamó antes el logaritmo hiperbólico, ya que equivale al área bajo una hipérbola. También a veces se refiere como el logaritmo de Napierian, aunque el sentido original de este término sea ligeramente diferente.

Convenciones de Notational

Las notas "callejón (x)" y "tronco (x)" ambos se refieren inequívocamente al logaritmo natural de x.

Según el contexto, "registran (x)" se puede referir al logaritmo natural, pero también se puede usar para el común (base 10) el logaritmo. En los lenguajes de programación más comúnmente usados, incluso C, C ++, SAS, MATLAB, Mathematica, Fortran, y BÁSICO, "tronco", "Tronco" o "TRONCO" se refiere al logaritmo natural.

Las calculadoras portátiles denotan el logaritmo natural como el callejón, mientras que el tronco es la base 10 logaritmo.

En ciencias informáticas teóricas, la teoría de información y la criptografía "registran (x)" generalmente significa "el tronco (x)" (aunque esto a menudo se escriba como lg (x) en cambio).

Origen del término logaritmo natural

Al principio, podría parecer que ya que el sistema de enumeración común es bajo 10, esta base sería más "natural" que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso culturalmente — como la base para los sistemas de enumeración de muchas sociedades — probablemente proviene del número típico de la gente de dedos. Otras culturas tienen basado sus sistemas que cuentan en tales opciones como 5, 8, 12, 20, y 60.

el tronco es un tronco "natural" porque automáticamente primaveras de, y tan a menudo aparece en, matemáticas. Por ejemplo, considere el problema de diferenciar una función logarítmica:

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Si la base b iguala e, entonces el derivado es simplemente 1/x, y en x = 1 este derivado iguala 1. Otro sentido en el cual el base-e-logarithm es el más natural consiste en que se puede definir completamente fácilmente en términos de integral simple o serie de Taylor y esto no es verdad de otros logaritmos.

Los sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen ningún uso del cálculo. Como un ejemplo, hay varias series simples que implican el logaritmo natural. Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo.

Definiciones

Formalmente, el callejón (a) se puede definir como la integral,

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Esta función es un logaritmo porque satisface la propiedad fundamental de un logaritmo:

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Esto se puede demostrar partiendo la integral que define el callejón (ab) en dos partes y luego fabricación de la substitución variable en la segunda parte, así:

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\ln (ab)

\int_1^ {ab} \frac {1} {x} \; dx

\int_1^a \frac {1} {x} \; dx \; + \int_a^ {ab} \frac {1} {x} \; dx

\int_1^ {un} \frac {1} {x} \; dx \; + \int_1^ {b} \frac {1} {en} \; d (en)

</matemáticas>

::

\int_1^ {un} \frac {1} {x} \; dx \; + \int_1^ {b} \frac {1} {t} \; dt

\ln (a) + \ln (b)

</matemáticas>

El número e se puede definir entonces como el número real único un tal que callejón (a) = 1.

O bien, si la función exponencial se ha definido primero, diga usando una serie infinita, el logaritmo natural se puede definir como su función inversa, es decir, el callejón es esa función tal que. Ya que la variedad de la función exponencial en verdaderos argumentos es todos los números reales positivos y ya que la función exponencial aumenta estrictamente, esto es bien definido para todo x positivo.

Propiedades

:: (ver el logaritmo complejo)

Derivado, serie de Taylor

El derivado del logaritmo natural da

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Esto lleva a la serie de Taylor para aproximadamente 0; también conocido como la serie de Mercator

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::

En el derecho es un cuadro de callejón (1 + x) y algunos de sus polinomios de Taylor aproximadamente 0. Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región 1

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Usando Euler transforman en la serie de Mercator, uno obtiene el siguiente, que es válido para cualquier x con el valor absoluto mayor que 1:

:

Esta serie es similar a una fórmula del BBP-tipo.

También note que esto es su propia función inversa, tan para ceder el logaritmo natural de un cierto número y, simplemente poner en para x.

El logaritmo natural en integración

El logaritmo natural permite la integración simple de funciones de la forma g (x) = f' (x)/f (x): un antiderivado de g (x) da el callejón (|f (x) |). Es así debido a la cadena gobiernan y el hecho siguiente:

:

En otras palabras,

:

y

:

Aquí está un ejemplo en caso de g (x) = bronceado (x):

:

:

El piso de alquiler f (x) = porque (x) y f' (x) = – pecan (x):

:

:

donde C es una constante arbitraria de la integración.

El logaritmo natural puede ser integrado usando la integración por partes:

:

Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, la extensión de serie de Taylor se puede volver a escribir como:

:

Para obtener un mejor precio de la convergencia, la identidad siguiente se puede usar.

:

:provided que y = (x−1) / (x+1) y x &gt; 0.

Para callejón (x) donde x &gt; 1, más cerca el valor de x es a 1, más rápido el precio de la convergencia. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden reforzar para explotar esto:

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Tales técnicas se usaron antes de calculadoras, refiriéndose a mesas numéricas y realizando manipulaciones como aquellos encima.

Logaritmo natural de 10

El logaritmo natural de 10 desempeña un papel por ejemplo en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en la nota científica, un mantissa multiplicado por un poder de 10:

:

Por este escalamiento, el algoritmo puede reducir el logaritmo de todos los números reales positivos a un algoritmo para logaritmos naturales en la variedad

Precisión alta

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de la precisión, el enfoque de serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Una alternativa debe usar el método de Newton de invertir la función exponencial, cuya serie converge más rápidamente.

Una alternativa para el cálculo de precisión muy alto es la fórmula

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donde el M denota el medio aritmético y geométrico de 1 y 4/s y

:

con el m elegido de modo que los trozos p de la precisión se alcancen. (Con la mayor parte de objetivos, el valor de 8 para el m es suficiente.) De hecho, si este método se usa, la inversión de Newton del logaritmo natural puede ser a la inversa usada para calcular la función exponencial eficazmente. (El callejón de constantes 2 y &pi; se puede precalcular a la precisión deseada usando cualquiera de varias series conocidas rápidamente convergentes.)

Complejidad computacional

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural (usando el medio aritmético y geométrico) es O (M (n) callejón n). Aquí el n es el número de dígitos de la precisión en la cual el logaritmo natural se debe evaluar y el M (n) es la complejidad computacional de multiplicar dos números del n-dígito.

Fracciones continuadas

Mientras ningunas fracciones continuadas simples están disponibles, varias fracciones continuadas generalizadas son, incluso:

:

\log (1+x) = \frac {x^1} {1}-\frac {x^2} {2} + \frac {x^3} {3}-\frac {x^4} {4} + \frac {x^5} {5}-\cdots=

\cfrac {x} {+\cfrac 1-0x {1^2x} {+\cfrac 2-1x {2^2x} {+\cfrac 3-2x {3^2x} {+\cfrac 4-3x {4^2x} {+\ddots 5-4x}}}} }\

</matemáticas>

:

\log \left (1 +\frac {2x} {y} \right) = \cfrac {2x} {y +\cfrac {x} {1 +\cfrac {x} {3y +\cfrac {2x} {1 +\cfrac {2x} {5y +\cfrac {3x} {1 +\ddots}}}}}}

\cfrac {2x} {y+x-\cfrac {(1x) ^2} {3 (y+x)-\cfrac {(2x) ^2} {5 (y+x)-\cfrac {(3x) ^2} {7 (y+x)-\ddots}}} }\

</matemáticas>

Logaritmos complejos

La función exponencial se puede ampliar a una función que da un número complejo como e para cualquier número complejo arbitrario x; simplemente use la serie infinita con el complejo x. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que expone la mayor parte de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades implicadas: ningún x tiene e = 0; y resulta que e = 1 = e. Ya que la propiedad multiplicative todavía trabaja para la función exponencial compleja, e = e, para todo el complejo z y números enteros n.

Por tanto el logaritmo no se puede definir para el avión complejo entero, y hasta entonces se multivalora – cualquier logaritmo complejo se puede cambiar en un logaritmo "equivalente" añadiendo cualquier número entero múltiple de 2πi a voluntad. El logaritmo complejo sólo se puede valorar del modo solo en el avión de reducción. Por ejemplo, callejón i = 1/2 πi o 5/2 πi o 3/2 πi, etc.; y aunque yo = 1, 4 tronco me pueda definir como 2πi, o 10πi o 6 πi, etcétera.

Image:NaturalLogarithmRe.png | z = Re (callejón (x+iy))

Image:NaturalLogarithmIm.png | z = |Im (callejón (x+iy)) |

Image:NaturalLogarithmAbs.png | z = |ln (x+iy) |

Image:NaturalLogarithmAll.png | Superposición de los 3 gráficos anteriores

Véase también

Enlaces externos


Número natural / Neogene
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